КАК МЫ ПЛАВАЕМ?

Если спросить у любого, как он плавает, то следует, по-видимому, ожидать два варианта ответов. В первом случае Вам начнут объяснять, каким стилем и как быстро они преодолевают водные преграды. Во втором – скажут, что садятся в лодку, катер или на корабль. Вряд ли среди спрашиваемых найдётся человек, который после Вашего вопроса станет объяснять физические основы нашей способности держаться на воде или вычислять коэффициент полезного действия гребцов в лодке. Попробуем сыграть роль такого человека – теоретика плавания и ответить на несколько вопросов, касающихся физической теории плавания.

Почему мы сразу не тонем?

Хорошо умеющих плавать обидит такая форма вопроса. Однако твёрдо установлено, что человек, оставшийся один-на-один с водной стихией далеко от берега, раньше или поздно всё равно утонет. Объясняют это тем, что у несчастного кончаются силы, и он перестаёт выполнять плавательные движения, за счёт которых он держится на поверхности воды. Как это ни обидно, но даже самые умные из нас примерно на 70 % состоят из обычной воды. Поэтому бытующее в народе мнение, что если человека сильно ударить, то от него «одно мокрое место» останется, имеет под собой вполне научную основу. Таблица 1 показывает, из чего мы состоим на самом деле и какая плотность этих составляющих нашего организма.

Таблица 1. Плотность тканей организма человека

	отношение массы ткани к массе тела в %	плотность ткани в 1000 кг/м3
мышцы	43	1,04
жир	14	0,92
кости	10	1,90
кровь	8	1,04

Большую часть нашего тела составляют мышцы. Так как их плотность больше, чем у воды, то при плавании они должны тянуть нас на дно. Ещё больше, как следует из таблицы 1, нас тянут на дно наши кости. Кажется, что только жировая прослойка может спасти нас от быстрой гибели. Однако, это не совсем верно.

Внутри каждого человека есть воздушный мешок – лёгкие. Объём воздуха в лёгких человека может изменяться от 1 литра (при глубоком выдохе) до 6 литров (при глубоком вдохе). Так как плотность воздуха приблизительно в 800 раз меньше, чем у воды, то каждый литр воздуха в наших лёгких по закону Архимеда создаёт подъёмную силу около 9,8 Н. Соответственно, плотность тела человека, ρ_Ч изменяется от 940-990 кг/м³ при полном вдохе до 1010-1070 кг/м³ при полном выдохе.

Голова - всему помеха!

Оценивая плавучесть человека, необходимо учитывать, что голова человека, объём которой составляет около 7 % объёма его тела, всегда должна находиться над поверхностью воды. Пусть человек в воде занимает вертикальное положение. Легко показать, что в таком случае будет справедливо следующая формула для отношения абсолютных величин архимедовой силы (F_А) и силы тяжести (F_G), действующих на человека в воде:

(1)

Из (1) следует, что даже при самом глубоком вдохе архимедовой силы не хватит для полной компенсации силы тяжести плывущего человека. Но даже, если бы архимедова сила была бы равна весу человека, он бы не смог неподвижно так, как это изображено на верхней части рисунка 1, лежать в воде, находясь в горизонтальном положении. Это вызвано тем, что архимедова сила (F_А) и сила тяжести (F_G) приложены к разным точкам тела. F_А приложена в центре масс вытесненной телом жидкости (т.А на рисунке 1), а точка приложения F_G является центром масс тела и расположена чуть ниже пупка (т.G на рисунке 1), которая из-за наличия воздуха в лёгких находится всегда дальше от головы, чем т.А. В результате, F_A и F_G образуют пару сил, которая вращает тело в вертикальной плоскости, пока оно не примет вертикальное положение.

Легко ли плыть в вертикальном положении?

Итак, если считать, что в Вас достаточно жира и воздуха, чтобы сразу не утонуть, то можно утверждать, что вскоре после того, как Вас бросят в воду, Вы примете вертикальное положение. Однако, каждому ясно, что плыть вперёд, находясь в вертикальном положении, очень трудно – мешает огромное сопротивление жидкости, которое, как известно, пропорционально площади поперечного сечения двигающегося тела. Интересно, что одним из требований, предъявляемых к пловцам первого разряда на флоте царской России, было умение проплыть стоя, без помощи рук 20 сажень (1 морская сажень = 1,83 м). Оценка показывает, что площадь поперечного сечения тела человека на уровне пояса почти в 10 раз меньше, чем аналогичная, но сделанная вдоль его позвоночника. Поэтому перед тем, как плыть, лучше всё-таки принять горизонтальное положение. Обычно это делают просто, болтая ногами.

Что мешает болтать ногами?

Найдём силу F, действующую на тело при его движении в воде со скоростью V. Силы сопротивления жидкости или газа движению тел зависят от их скорости. При малых V почти все частицы перед движущимся на них телом имеют достаточно времени, чтобы отойти в сторону, не приобретая при этом импульса в направлении V. При такой малой скорости, только те частицы, которые коснулись тела, обретают его скорость. Эти сдвинутые с места частицы, двигаясь вместе с телом, будут в свою очередь увлекать очень тонкий слой жидкости, с которым они тесно связаны. Чем крепче связаны между собой слои жидкости или, что одно и то же, чем больше её вязкость, тем больше сила сопротивления, действующая на тело. В этом случае сила сопротивления прямо пропорциональна величине V, среднему размеру тела в плоскости, перпендикулярной V, и вязкости жидкости. Точную формулу для силы сопротивления F при малых V можно получить, например, для тела, имеющего форму шара. Эта формула, получившая название «формула Стокса», имеет вид:

F = 3ηπDV,        (2)

Пусть теперь скорость тела возросла, и частицы жидкости, находящиеся на его пути, уже не успевают отходить в сторону и увлекаются вперёд. В этом случае за t секунд тело успеет натолкнуться на массу жидкости, равную VtSρ_В, где S – площадь поперечного сечения тела в направлении, перпендикулярном V. Всей этой массе жидкости тело сообщит скорость V и импульс V²tSρ_В. Поэтому силу сопротивления F₁, действующую на тело со стороны жидкости при больших скоростях, которую часто называют силой «лобового сопротивления», можно вычислить по следующей формуле:

F₁ = V²Sρ_В.        (3)

Конечно, и при больших скоростях некоторая часть силы сопротивления зависит от вязкости и её можно вычислить, используя выражение (2). Чтобы оценить, как изменяется вклад «вязких» сил сопротивления с увеличением скорости тела, найдём отношение F₁ к F для шара с диаметром D, используя выражения (2) и (3):

(4)

Выражение DVρ_В/η, являющееся безразмерной величиной, называется числом Рейнольдса, Re. Из (4) следует, что при Re > 100 вязкостью среды можно пренебречь, а силу её сопротивления вычислять по формуле (3). Наоборот, при малых числах Рейнольдса (Re << 1) следует учитывать только вязкость жидкости, а вычисление силы проводить по формуле (2).

Русалка с ластой и число Рейнольдса

После такого отступления в область гидродинамики вернёмся к задаче о том, каким образом нужно болтать ногами, чтобы перевести наше тело из вертикального положения в горизонтальное? Чтобы упростить задачу, будем считать, что мы используем для этого одну ласту, одетую на обе ноги, как у русалки, а тело русалки заменим полузатопленным поленом, к нижнему концу которого прикреплена подвижная ласта с поверхностью S, способная двигаться в горизонтальном направлении (см. левую часть рисунка 2). Будем также считать, что ласта не деформируется при движении, а её масса пренебрежимо мала, по сравнению с массой полена, чтобы не учитывать перемещений суммарного центра масс при изменении положения ласты относительно полена.

Пусть частота болтания ластой составляет 1 Гц, а размах её движений – 0,25 м. Тогда средняя скорость её движения будет равна 0,5 м/с. Считая, что «размер» ласты около 0,2 м, а вязкость воды – 0,001 Па_.с, получаем Re = 100000. Таким образом, при болтании ногами "вязкими" силами можно пренебречь, а силу сопротивления надо вычислять, используя формулу (3).

Симметрично или нет?

Пусть сначала график изменения скорости ласты от времени выглядит симметрично, т.е. скорость и интервалы движения ластой влево и вправо одинаковы. Очевидно, что в этом случае и сила сопротивления воды, а также её средний импульс при движении влево и вправо тоже будут одинаковы, а значит, тело русалки так и останется вертикальным.

Попробуем теперь двигать ласту влево с большей скоростью, V₁, чем вправо, V₂ (см. нижний график на рис.2). Так как расстояния, проходимые ластой при её движениях влево и вправо, должны быть равны, то V₁t₁ = V₂t₂ , где t₁ и t₂ – длительности движения ласты влево и вправо, соответственно. Легко показать, что при таких «несимметричных» движениях ласты средняя сила, F_ср , действующая на русалку и направленная вправо, будет равна

(5)

Таким образом, любые повторяющиеся несимметричные движения ластами приведут к тому, что мы примем горизонтальное положение и поплывём.

А если мы оказались в бочке с мёдом?

Вязкость мёда в 10000 раз больше, чем у воды. Поэтому двигать ластами, находясь в бочке с мёдом, очень трудно. Даже, если предположить, что скорость наших движений в таких условиях уменьшится только в 10 раз (с 0,5 м/с до 0,05 м/с), то отношение силы лобового сопротивления к вязкой силе, вычисленное по формуле (4), составит менее 1/10. Это значит, что основными силами, действующими при движении ласты в мёде, являются силы вязкости. Попробуем теперь получить выражение для F_ср, аналогичное (5), используя формулу (2) для несимметричных движений. Как легко показать, при любых V₁ , t₁ и V₂, t₂, для которых справедливо равенство V₁t₁ = V₂t₂, средняя за цикл сила, действующая на ласту, будет равна нулю. А это значит, что в очень вязкой жидкости, где число Re <<1, плавать надо не так, как в воде, а по-другому.

Большие трудности малых существ

Как следует из формулы (4), очень малые существа, даже плавая в воде, могут сталкиваться с такими же трудностями, что и мы в воображаемом медовом озере. Известно, что бактерии, размер которых составляет около 1 мкм, плавают в воде со скоростью 0,1 мм/с. Легко посчитать, что число Рейнольдса для таких движений бактерий близко к 10^-4, заставляя их использовать при плавании только силы вязкого трения. Каким же образом двигают бактерии своими жгутиками, чтобы сдвинуться с места?

Диаметр жгутика чуть больше 100 ангстрем и он, конечно, лишён мускулатуры. Поэтому бактерия не может по своему желанию согнуть жгутик или пустить вдоль него волну деформаций, как делают змеи или некоторые рыбы для своего движения. Единственное, что может делать бактерия – закручивать его вдоль оси, как штопор. Для этого в месте соединения жгутика с телом бактерии есть специальный молекулярный моторчик – предмет исследования многих учёных, которые до сих пор до конца не знают, как он работает. Бактерии вращают жгутиком с частотой несколько Гц, часто меняя направления движения (рис.3).

Все знают, что круговые движения штопора продвигают его либо вперёд, либо назад, в зависимости от того, против или по часовой стрелке мы крутим. То же самое происходит и с бактерией, когда она крутит свой жгутик. Он «вкручивается или выкручивается» из жидкости, которая для него является очень вязкой (Re < 10^-5), двигая бактерию вперёд или назад.

Как плыть быстрее?

Для этого необходимо не только изо всех сил двигать руками и ногами в определённой последовательности, но и ориентировать своё тело так, чтобы испытывать минимальное сопротивление воды. Согласно формуле (3), сила сопротивления воды пропорциональна площади поперечного сечения S, но это выражение даёт завышенное значение для F₁, так как не все частицы воды при столкновении с телом приобретут его скорость. Однако формулой (3) можно пользоваться, если выражение в её правой части умножить на безразмерный коэффициент, C_D – коэффициент лобового сопротивления:

(6)

При этом, как показывают эксперименты, C_D сильно зависит от формы тела, как это показано на рисунке 4.

Большие различия в C_D возникают из-за того, что вода по-разному обтекает эти тела. За диском и шаром, например, образуется зона вихрей. А это значит, что, двигая их вперёд, мы должны тратить энергию не только на вязкое трение, но и на энергию возникающих за ними вихрей. В отличие от шара и диска, за каплевидным обтекаемым телом вихри почти не образуются, и поэтому сила сопротивления воды для движения такого тела меньше, хотя его площадь поперечного сечения такая же.

Как плавают рыбы?

Число Рейнольдса для небольших рыб составляет более 100, поэтому вращать «штопор», как это делают бактерии, им не выгодно. Рыбы используют, по крайней мере, два типа плавания – волнообразные движения всего тела или движения хвоста (рис.5). Рыбы, имеющие змееобразную форму (например, угорь), используют первый тип плавания, изгибая тело так, что его изгиб движется от головы к хвосту, отталкивая назад воду, в результате чего рыба движется вперёд. При втором типе движения воду отталкивает назад быстро распрямляющийся хвост рыбы.

Неразгаданные загадки плавания меч-рыбы и дельфина

Учёные до сих пор не могут ответить на вопрос, как многие рыбы и дельфины умудряются двигаться в воде со скоростями, недоступными иногда даже для птиц, летящих в воздухе. Меч-рыба, например, плывет со скоростью до 130 км/ч; тунец – 90 км/ч. Если изготовить муляж меч-рыбы и определить коэффициент лобового сопротивления, C_D, то окажется, чтобы набрать такую скорость, рыбе необходимо развить мощность автомобильного мотора - порядка 100 лошадиных сил. Энергия живых существ – это энергия окислительных процессов. Но рыбы - существа холоднокровные, их температура немного выше температуры воды, в которой кислород, кстати, растворен в очень небольшом количестве. Поэтому такие мощности для них, просто, недостижимы! Остается предположить, что рыбы каким-то образом "умеют" очень сильно снижать сопротивление воды.

При быстром движении обычного предмета через воду вихри образуются только позади тела. Согласно закону Бернулли, давление в них падает, что оказывает на тело тормозящее действие. Одна из гипотез, объясняющих резкое снижение сопротивления воды у меч-рыбы, состоит в том, что меч, находящийся впереди, служит генераторами вихрей, которые переходят с меча на тело рыбы. В результате, рыба движется через воду, со всех сторон окружённая вихрями – областями низкого давления, что соответствует чрезвычайно низкому сопротивлению движения. Такого же эффекта можно достичь, если поверхность тела сделать шероховатой, возмущая пограничный слой между жидкостью и телом и превращая течение в вихревое (турбулентное) по всей поверхности контакта. Какой из этих механизмов уменьшения C_D реализуется у меч-рыбы и дельфинов учёные до сих пор не знают.

Почему щука всегда догонит карася?

Общеизвестна поговорка "На то и щука в море, чтобы карась не дремал". Каждому ясно, что щука всегда догонит карася, если он, конечно, не успеет где-нибудь спрятаться. Да и не только карася, а любую мелкую рыбешку. Но, почему максимальная скорость у крупной рыбы больше, чем у мелкой?

Согласно (6), сила сопротивления, которую преодолевает рыба, двигаясь в воде, при одинаковой форме тела пропорциональна площади поперечного сечения рыбы S и квадрату скорости ее движения, V². Поэтому выражение для мощности N, которую затрачивает рыба при движении, имеет вид

N = k₁V³,        (7)

Оценим, как связаны между собой максимальная мощность, развиваемая мышцей животного и её размеры. Известно, что максимальная сила каждой мышцы пропорциональна площади её поперечного сечения, а именно, каждый см² мышцы способен развить силу около 50 Н. Мышца, развивая силу, укорачивается, и максимальная величина этого укорочения не может быть больше 50% её исходной длины. Таким образом, укорочение мышцы пропорционально её длине. Значит, максимальная работа, производимая каждой мышцей и равная произведению максимальной силы на максимальное укорочение, должна быть пропорциональна ее объему. Так как механизм сокращения всех мышц одинаков, то и максимальная мощность также должна быть пропорциональная объёму мышцы.

Если считать, что большие и маленькие рыбы подобны, как это изображено на рисунке 6, используют один и тот же стиль плавания и аналогичные мышцы, то максимальная мощность N, развиваемая этими рыбами должна быть прямо пропорциональна объёму мышц, занятых в движении. А так как все рыбы мы считаем подобными, то максимальная мощность должна быть прямо пропорциональна объёму Q каждой рыбы

N = k₂Q,        (8)

(9)

где C₂ - коэффициент, не зависящий от размеров рыбы. Пусть V₁, V₂, Q₁, Q₂, S₁, S₂ - скорости, объемы и площади поперечного сечения большой и маленькой рыб соответственно. Тогда из (9) можно получить

(10)

Считая формы большой и маленькой рыб подобными, а их длины равными L₁ и L₂, можно утверждать, что Q₁/Q₂ = (L₁/L₂)³ , а S₁/S₂ = (L₁/L₂)². Поэтому выражение (10) можно переписать в виде

(V₁/V₂)³ = L₁/L₂.        (11)

Если учесть, что длина тела щуки около 1 м, а карася - 0,1 м, то перспектива карасю попасть в пасть щуки обрисовывается вполне четко. Рост известных пловцов тоже выше среднего, как и у баскетболистов. Например, рост многократного чемпиона плаванию Александра Попова 197 см. Очевидно, успехи этих «гулливеров» в плавании можно объяснить так же, как и историю со щукой и карасём.

Почему мелкие рыбы ходят косяками?

В косяке все рыбы движутся в одном направлении друг за другом. При этом количество рыб в косяке может быть от нескольких штук до миллионов. Плыть в косяке не только безопаснее, но и энергетически выгоднее, если держаться точно за виляющим впереди хвостом, который оставляет после себя завихрения, подталкивающие вперёд плывущих сзади (рис.7). Двигаться так, чтобы оказаться точно между двумя завихрениями, оставленными впереди плывущей рыбы, помогают специальные рецепторы боковой линии – высокочувствительные датчики давления.